Diciembre

Series de Taylor

Si una función es analítica admite un desarrollo mediante una serie de Taylor compleja, la cual es similar a la serie de funciones reales.

• Propiedad 1

Si f es analítica en Zo entonces  f puede tener un desarrollo mediante una serie de Taylor

Si Zo = 0, entonces la serie toma el nombre de serie de MACLAURIN

El desarrollo de la serie de Taylor se realiza mediante la generalización de derivadas sucesivas de la función evaluadas en el punto Zo, como por ejemplo:

También se puede realizar el desarrollo de la serie de Taylor mediante otros procedimientos:

- Por sustitución: 

- Por división:

 

- Por derivación: 

- Por integración: 

Serie de Laurent

Sea el caso de que f(z) no es analítica en Zo, entonces la serie no admite desarrollo mediante una serie de Taylor , pero admite un desarrollo por la serie de Laurent. 

- Propiedad 1:

Si f(z) es continua en el anillo expresado por: 

entonces para z en ese anillo se expresa la serie de Laurent así:

gráfica representa el anillo de la serie de Laurent de una función.

Teorema del Residuo

Clasificación de singularidades

 Si f(z) es analítica en un anillo 0 < |z − z0| < ∞ pero no en z0, decimos que f(z) tiene una singularidad aislada en z0.

Sea f(z) una función con una singularidad aislada en z0. Si desarrollamos en serie de Laurent:

z0 es:

* Una singularidad removible.- Si no aparecen potencias negativas de z − z0 en la serie de Laurent.

* Una singularidad esencial.- Si aparecen una infinidad de potencias negativas de z − z0.

* Una sigularidad polar con un polo de orden m.- Si m es un entero positivo y (z − z0) −m aparece en esta serie pero no aparecen potencias más negativas (am−1 = am−2 = ... = 0).

Ceros de una función 

Una función tiene un cero en z0 si f(z) es analítica en z0 y f(z0) = 0. Decimos que una función tiene un cero de orden m en z0 si:

Residuos 

Si desarrollamos a f (z) en serie de Laurent 

Definimos al residuo de f (z) en la singularidad z0 como el coeficiente a−1 en su desarrollo en serie de Laurent. 



Esta última fórmula es la mas usada para resolver la integral.

Teorema del Residuo

Sea f (z) analítica en un dominio D, excepto en los puntos z1, z2, ..., zn, donde f (z) tiene singularidades. Sea C una curva cerrada suave a pedazos en D que encierra a z1, z2, ..., zn.⇒

Donde C es la curva que encierra las singularidades z1, z2, ..., zn

Residuos y polos

Sea f (z) con un polo de orden m en z0 :

Referencias:

- Catsigeras, E. (2015). Definición de serie de Laurent y corona de convergencia. En Funciones de variable compleja (págs. 2-9). Quito: Cauchy.

- MA3002, D. d. (2015). Teorema de Taylor. En Matemáticas Avanzadas para Ingeniería: (págs. 7-11). Quito.

- Rojero, E. E. (2015). Serie Laurent y teorema del residuo. En E. E. Rojero, Matemáticas Avanzadas (págs. 7-56). Quito.

- Mantilla, M. (2015). Clase de Matemática Avanzada. En Escuela Politécnica Nacional.