Noviembre

Integración en el plano complejo

- Las definiciones de integrales en el campo complejo son similares a las integrales de funciones reales de 2 variables

- Se aplican las reglas y propiedades de integración de las funciones de variable real, salvo el caso en que las funciones carezcan de anti-derivada

- Los números reales se representan en una recta como intervalos, entonces tiene sentido las sumas de Riemann

- Los números complejos se representan en el plano complejo, lo cual nos lleva a considerar las integrales de linea, sobre una curva r en lugar de las sumas de Riemann

- En las integrales cerradas se presentan novedades tales como las integrales de Cauchy, que son propios de los números complejos

• Integración Indefinida

- Si f(z) tiene anti-derivada se puede evaluar la integral indefinida.

• Integrales de Linea

- Curvas en el plano complejo

* La curva r en el plano complejo, es el conjunto de puntos (x,y) tales que:

La curva r se representa en forma paramétrica :

donde a < t < b

Curva suave

Una curva que no presenta entrecruzamiento o puntos dobles se llama curva suave o curva simple

-PROPIEDADES

Si r es una curva suave o suave por intervalos y f(z) es continua entonces:

(-r) denota la curva r en sentido negativo de mas o menos

- Si r es una curva suave y se representa por Z(t) = x(t) + iy(t) para a<t<b y f(z) continua en c entonces:

• Integrales Cerradas

 - Las integrales cerradas se evaluan de igual forma que las integrales de linea, la unica diferencia es que la curva r debe ser una curva cerrada.

Dominio Simplemente Conexo

Teorema de la Integral de Cauchy

-Sea f(z) una función analítica en D, un dominio conexo y sea C una curva cerrada simple en D entonces:

i) f: es analitica
ii) D: simplemente conexo
iii)C : curva cerrada simple

Teorema de la Deformación

Sea f(z) analítica en D, excepto en Zo y sean C y S curvas cerradas simples que encierran a zo, entonces:

Integrales de Cauchy

Si f es analítica en un dominio D simplemente conexo. Sea la curva cualquier curva cerrada en D, que encierre a Zo

Integrales de Cauchy para derivadas de orden superior

Si f es analítica en un dominio D simplemente conexo. Sea la curva cualquier curva cerrada simple en D, que encierra a Zo

• Sucesiones y Series de variable compleja

SUCESIONES

• Las sucesiones y series de variable compleja son similares a las de variable real. Para determinar su convergencia se utilizan los criterios de convergencia de sucesiones y series reales.

• La serie de Laurent es propia de los números complejos y es una generalización de la serie de Taylor

Definición:

Una función compleja es una función de los naturales en los complejos

Propiedades:

Series

Al igual que en los reales una serie es la suma de los elementos de una sucesión y se denota por:

La convergencia de la serie compleja se realiza analizando las series reales que lo conforman

Propiedades:

Series Convergentes:

Series Divergentes:

SERIES ESPECIALES

1. Serie Geométricas

i) Converge si IzI<1

ii) Diverge si IzI > 1 o igual


2. Serie Armónica

3. Serie "p"

Criterios de Convergencia

Series de Potencia

Propiedades:

Sea Zn diferente de cero para cada n y suponiendo que:

 Entonces:                                                                                                                                       

1)                                                                                                                                               

2)